Halló la superficie de un circulo con el método de exhaución llegando a polígonos de noventa y seis lados.
el Método de Exhaución, consistía en aproximar la figura por otras que se pudieran medir la correspondiente magnitud, así se calcularon áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitudes de curvas, etc.
Las paradojas de Zenón son un conjunto de problemas filosóficos, donde el movimiento no es más que una ilusión de los sentidos.Estas paradojas constituyen el testimonio más antiguo que se conserva del pensamiento infinitesimal.
indicó la condición necesaria para la existencia de un límite al saber, “que la diferencia entre determinadas áreas puede hacerse menor que un área específica”.
La base de este método era descomponer las figuras en partes Infinitamente pequeñas de áreas o volúmenes conocidos para si poder resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas.
Considera que la tangente y la curva coinciden en un punto. Para hallar este punto calculaba la subtangente utilizando la semejanza de triángulos. Para obtener restos segmentos utilizaba el método de Fermat.
Consistía en representar los objetos mediante una superposición de elementos cuya dimensión era cocida y menor, para así calcular áreas y volúmenes. Dijo que una superficie está conformada por líneas si ancho. Infinitésimo es un “cero pequeños”
Esta técnica consistía en tomar un E muy pequeño, realizar el cálculo f(x+E) =f(x), y observar que este es un valor cercano a cero, este valor se divide por E y el último paso es considerar E=0
Trabaja con el infinito en series infinitas e induce el símbolo ∞
Su método es muy semejante al de Fermat, pero parecen dos incrementos e y a, que equivale a Δx y Δy
Propone La teoría de fluxiones la cual resuelve dos problemas: la determinación de la relación entre fluxiones, conocidas la relación entre fluentes y el recíproco, dada la relación entre fluxiones, encontrar las fluentes. Ademas creo el método de las "razones primeras y últimas", en la que el incremento de la variable se "desvanece", lo que supone la explicitación de una idea de límite un tanto metafísica.
Preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal de la matemática, contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias
Crea una rama de la matemática y se llama Análisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos. Se plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y composiciones de funciones elementales Usa los diferenciales de Leibniz que los considera cero cuando era apropiado.
Crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton
Trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias Los resultados conseguidos le hicieron creer que se podían evitar los límites y continuó haciendo desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas necesitaba del concepto de límite. Propone la “Teoría analítica de funciones sin límites la cual contribuye a independizar el análisis de lo geométrico y lo mecánico.
Da una definición de continuidad basada en la de límite. De hecho la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de límite.
Se le atribuye ser el primero en institucionalizar el concepto de límite como “objeto matemático” y no como “noción instrumental” en los procesos de instrumentación retoma el concepto de límite de D'Alembert, rechazando el planteamiento de Lagrange, prescinde de la geometría, de los infinitésimos y de las velocidades de cambio, dándole un carácter más aritmético, más riguroso, pero aún impreciso.
Criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que, según él, esto sugiere tiempo y movimiento, y dio una formulación métrica, puramente estática, definición bastante cercana a la que se utiliza hoy en día. Esta definición, que aparece en la obra de su discípulo Heine Elemente, es la siguiente: "Si, dado cualquier ε, existe un no, tal que para 0
Definió un conjunto medible, para mostrar las funciones medibles.
Introduce el concepto de número hiperreal.
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