Arquimides usó el método de exhaución para calcular la longitud de una circunferencia(lo que conlleva el calculo de π). Esto lo hizo inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en una circunferencia de radio unitario, podemos hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y el número π con tantas cifras decimales como queramos.
hizo contribuciones sobresalientes en el ámbito infinitesimal. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.
Apolonio de nió la tangente a una sección cónica y procedió a determinarla en cada caso. Las técnicas para el cálculo de tangentes eran, por supuesto, geométricas.
Eudoxo utilizo el metodo de agotamiento o exhaución para demostrar el volumen de ciertas sólidos ya intuidos por Demócrito.
Demócrito es más conocido por su Teoría Atómica pero también fue un excelente geómetra,Encontró la fórmula B*h/3 que expresa el volumen de una pirámide. Asimismo demostró que esta fórmula se la puede aplicar para calcular el volumen de un cono.
Debe su celebridad a su teoría de los «indivisibles», que expuso en Geometria indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota (1635). Esta teoría estudia las magnitudes geométricas como compuestas de un número infinito de elementos, o indivisibles, que son los últimos términos de la descomposición que se puede hacer. La medida de las longitudes, de las superficies y de los volúmenes se convierte en efectuar la suma de la infinidad de indivisibles: es el principio del cálculo de una integral definida, aunque sin la noción rigurosa moderna de paso al límite. Por esto puede ser considerado como uno de los precursores del análisis infinitesimal moderno.
Sus aportaciones a la geometría fueron determinantes en el desarrollo del cálculo integral.
Hacia el año 1636 circuló en Francia una memoria de Fermat titulada Methodus ad disquirendam maximam et minimam ("Método para investigar máximos y mínimos"), cuya importancia radica en que, además de ser el primer método general conocido para determinar máximos y mínimos, presentaba la idea de dar un incremento a cierta magnitud, la cual tomaba así el aspecto de una variable. Lo cual significo un aporte al desarrollo del concepto de límite.
La principal aportación de Descartes al cálculo fue el intento de unificar la antigua geometría con el álgebra. Junto con su paisano Pierre Fermat, inventó lo que hoy en día conocemos como la Geometría Analítica, que es donde se sientan las bases para el desarrollo del cálculo.
Publicó en 1655 un tratado Arithmetica in nitorum (La Aritmética de los in nitos) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri.
En su obra Vera circuli et hyperbolae quadratura se estudia la posibilidad de calcular el área de círculos e hipérboles mediante series infinitas convergentes. Un año más tarde, el libro se reeditaría, mostrando los métodos de obtención de volúmenes de sólidos de revolución. También se especula en torno a la existencia de los números trascendentales, se deduce la imposibilidad de resolver el problema de la cuadratura del círculo, y realiza aportaciones en los polinomios de Taylor y la primera prueba del Teorema fundamental del cálculo integral.
Fue un teólogo, profesor y matemático británico, cuyo papel en el desarrollo del cálculo moderno históricamente ha recibido un mérito secundario, en concreto, en su trabajo respecto a la tangente. Barrow es famoso por haber sido el primero en calcular las tangentes de la curva kappa. Isaac Newton fue discípulo de Barrow. Demostró una versión más generalizada del teorema fundamental del cálculo.
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
Estas ideas fueron sistematizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz, quien fue originalmente acusado de plagio por Newton. Es ahora reconocido como inventor independiente del cálculo y un gran contribuyente a éste. Su principal contribución fue el proveer un conjunto de reglas claras para la manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cómputo de derivadas de segundo orden y de orden superior, y estableciendo la regla del producto y regla de la cadena en su forma diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz le puso mucha atención al formalismo y a menudo le dedicaba varios días a determinar los símbolos apropiados para los conceptos.
matemáticos y profesores de la universidad de Basilea, estudiaron los trabajos de Leibniz con quien iniciaron una productiva correspondencia. A partir de 1690 publicaron una serie de trabajos en el Acta Eruditorum y en otras revistas, poniendo de mani esto que el cálculo de Leibniz era una herramienta poderosa con la que había que contar. Para divulgar dicha herramienta era preciso un buen libro de texto que explicara con detalle los pormenores del nuevo cálculo.
En su libro, L'Hôpital desarrollaba el cálculo diferencial tal como había sido concebido por Leibniz, es decir, usando cantidades in nitesimales para las que se establecían ciertas reglas de cálculo. La de nición de diferencial es como sigue: La parte in nitamente pequeña en que una cantidad variable es aumentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencial de esta cantidad. Para trabajar con in nitésimos se establece la siguiente regla: Dos cantidades cuya diferencia es otra cantidad in nitamente pequeña pueden intercambiarse una por la otra.
El descubrimiento en 1715 por Brook Taylor de las llamadas series de Taylor, que se convirtieron en una herramienta básica para el desarrollo del cálculo y la resolución de ecuaciones diferenciales.
La propuesta de Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) de fundamentar el cálculo sobre un álgebra formal de series de potencias. Si bien la idea de Lagrange de evitar el uso de límites no era acertada, su propuesta, concretada en su obra Théorie des fonctions analytiques (1797), tuvo el efecto de liberar el concepto de derivada de sus signi caciones más tradicionales. De hecho, la terminología función derivada, así como la notación f`(x) para representar la derivada de una función f , fueron introducidas por Lagrange en dicho texto. A partir de este momento la derivada deja de ser algo de naturaleza imprecisa ( fluxión o cociente diferencial) y empieza a ser considerada simplemente como una función
El extraordinario trabajo, tanto por su asombrosa amplitud como por sus notables descubrimientos, de Leonhard Euler (1707 - 1783) que, sin duda, es la gura principal de las matemáticas en el siglo XVIII. En sus tres grandes tratados, escritos en latín, Introductio in analysin in nitorum (1748), Institutiones calculi dierentiales (1755) e Institutiones calculi integralis (1768), Euler dio al cálculo la forma que conservó hasta el primer tercio del siglo XIX. El cálculo, que inicialmente era un cálculo de variables o, más exactamente, de cantidades geométricas variables, y de ecuaciones, se fue transformando, por in uencia de Euler, en un cálculo de funciones.
Los problemas planteados por las series de Fourier. Dichas series hacen sus primeras apariciones a mitad del siglo XVIII en relación con el problema de la cuerda vibrante, y nacen o cialmente en el trabajo de Joseph Fourier (1768 - 1830) Théorie analytique de la chaleur (1822). Tales series plantean problemas relacionados con las ideas centrales del análisis: el concepto de función, el signi ficado de la integral y los procesos de convergencia.
El proceso de algebraización del análisis que tiene lugar en los dos últimos tercios del siglo XIX y que culmina con la fundamentación del análisis sobre el concepto de límite (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) y la teoría de los números reales (Dedekind, Cantor).
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